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複素数変数zに対して、fz=e^{iz}/zとおく。fzはC: z=1の内部z1に置いて、z=0で1位の極をもつ。したがって留数定理より、∫[C]fzdz=2πiRes{fzz=0}=2πi?lim[z→0]zfz=2πiとなる。また、z=1は、ある実数θが存在して、z=e^{iθ}とかける。一周だけ考えるので、0=θ2πである。z=e^{iθ}なので、dz/dθ=ie^{iθ}である。∫[C]fzdz=∫[0→2π]fe^{iθ}ie^{iθ}dθ=i∫[0→2π]e^{kcosθ}coskcosθdθ-∫[0→2π]e^{kcosθ}sinkcosθdθ実部と虚部を比較すると、i∫[0→2π]e^{kcosθ}coskcosθdθ=2πiしたがって、∫[0→2π]e^{kcosθ}coskcosθdθ=2πとなる。

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